terça-feira, 17 de setembro de 2013

Funções-2

Estudo das Funções:

O estudo das funções resulta no gráfico completo da mesma. 

Para funções polinomiais:
a)  As raízes (valores de ‘x’ para y = 0).
b)  Estudo da descontinuidade e cálculo das assíntotas.
c)  Pontos extremos (máximos e mínimos).
d)  Análise da continuidade.
e)  Traço definitivo do gráfico. 



Assíntotas

Assíntotas são retas situadas nos limites das funções descontínuas quando estas vão ao infinito. Podem ser horizontais ou verticais.

a) Se o valor de x = a leva a função ao infinito, temos que x = a é uma assíntota vertical.

b) Se o valor de x infinito leva a função a um limite finito b, temos que y = b é uma assíntota horizontal.


a) Veja os pontos de descontinuidade, e ache o limite para este valor de ‘x’. Se limite de f(x) para x=a, for infinito, x=a é uma assíntota vertical. No exemplo x=-1.

b) Se limite de f(x) para x infinito for b, y = b é uma assíntota horizontal. No exemplo y = 0.

c) Na prática, se f(x) = g(x) / h(x).
Faça h(x) = 0, e ache as raízes. Teste as raízes em g(x), se não der 0, elas são assíntotas verticais, porque uma divisão por 0 é ∞, e ‘y’ será ∞.
No exemplo: h(x)= x2-1=0  onde x= ±1. Teste em g(x)  +1 não serve, -1 serve, e é uma assíntota vertical.



Máximos e Mínimos
       
           Uma função não monótona varia mudando a direção, e apresenta pontos de máximos, mínimos e de inflexão. Nestes pontos os valores de 'x' são chamados de extremantes, que podem ser maximizantes ou minimizantes, e os valores de 'y' são chamados extremos.
            Uma função pode ter vários pontos extremos, sendo o maior de todos chamado de máximo maximorum e o menor de mínimo minimorum.
            Assim a função muda de direção, cresce ou decresce. Diz-se que ela cresce, quando os valores de 'y' crescem com os de 'x'. No estudo da função deve se analisar os intervalos em que ela cresce ou decresce, como também os pontos em que ela se torna descontínua.
  



Como achar os pontos de máximos, mínimos e inflexão?

1- Ache a derivada primeira f '(x) e a segunda f ''(x) da função.

2- Ache as raízes (x1, x2...) de f ’(x). Estes são pontos de máximo ou mínimo. Se não forem encontradas raízes a função pode não ter extremos, então analise a continuidade da função para confirmar.

3- Calcule os valores de f ''(x) para as raízes encontradas f ''(x1), f ''(x2), ...

Se:              f ''(x1) > 0,  xserá um MÍNIMO

                   f ''(x1) < 0,  xserá um MÁXIMO

                   f ''(x1) = 0,  xserá um ponto de indeterminação.

Então calcule f '''(x''), e proceda da mesma forma, até f n. Calcule  f n(xn-1), sendo xn-1 a raiz de f n(x) que se estuda.

                   a ) Se 'n' for par.
                         Se f n(xn-1) > 0 será um MÍNIMO.
                         Se f n(xn-1) < 0 será um MÁXIMO.

                   b) Se 'n' for ímpar.
                       Se f n(xn-1) ≠ 0, será um ponto de inflexão.
                       Se f n(xn-1) = 0, não tem extremos nem ponto de inflexão.

4- Analise a continuidade da função e sua concavidade.

                   Se f n(xn-1) > 0 concavidade para cima , será um MÍNIMO.

                   Se f n(xn-1) < 0, concavidade para baixo, será um MÁXIMO.










Exercícios A:







Exercícios B:

Estudar as funções: ache as raízes, as assíntotas, os máximos e os mínimos e trace o gráfico das funções.























Exercícios C:







Exercícios D:








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