F-1 - Definições, Gráficos e Apresentação
F-2 – Assíntotas (após estudo de
limites)
Máximos e
mínimos (após estudo de
derivadas)
________________________________________________________________
a) Definições:
1)
Álgebra – Ramo da matemática que estuda
operações com termo desconhecido, normalmente chamado de incógnita, e que é
representado pela letra ‘x’.
2)
Expressão algébrica– Nome dado a uma
seqüência de operações aritméticas contendo pelo menos uma incógnita.
Dependendo da quantidade de termos as expressões podem ser chamadas de
monômios, binômios, trinômios e polinômios.
Ex: 2x, 4- 2x, x2 – 5x + 6
Ex: 2x, 4- 2x, x2 – 5x + 6
3)
Equações – Nome dado a uma expressão
algébrica em que há uma igualdade. Neste caso haverá duas incógnitas, que
passarão a ser chamadas de variáveis. Uma independente outra dependente,
normalmente representadas pelas letras ‘x’, a independente, e ‘y’, a
dependente. Ex: y = 2x, y = 4- 2x, y = x2 – 5x + 6
4)
Grau da expressão – É o valor do maior
grau entre os termos da expressão.
5)
Função – Nome especial dado às equações,
simples ou complexas, quando se quer estudá-las, e sua representação é f(x) ou
y = f(x), que querem dizer função de ‘x’ ou ‘y’ é uma função de ‘x’, ou que o
valor de ‘y’ depende do valor de ‘x’.
6)
Intervalo de uma função – é o conjunto de
valores de ‘y’ compreendidos entre dois valores de ‘x’ dados, que são os
extremos do intervalo.
O intervalo é numérico, mas normalmente é representado pelas
letras ‘a’ e ‘b’. O intervalo será finito se seus extremos forem valores
finitos, e infinito se um deles for infinito.
7)
Os intervalos podem ser:
a) aberto a < x < b , (a,b)
ou a - b
b) fechado a ≤ x ≤ b [a,b]
ou a /-/ b
c) aberto à esquerda fechado à direita
a < x ≤ b (a,b] ou a ⊣ b
a < x ≤ b (a,b] ou a ⊣ b
d) aberto à d
ireita fechado à esquerda
a ≤ x < b [a,b) ou a ⊢ b
a ≤ x < b [a,b) ou a ⊢ b
8)
Domínio de uma variável são os valores
que a variável (x) pode assumir resultando num valor válido para a função (y). Por
ex: inteiro, positivo, real, negativo. Também pode se dizer que o domínio é a
projeção da curva da função no eixo ‘x’, e imagem é a projeção no eixo ‘y’.
9)
Função contínua num intervalo é aquela
que sempre há um valor correspondente para ‘y’ para todo valor de ‘x’ num
intervalo.
10 Descontinuidade
de uma função ocorre quando para um valor de ‘x’,’y’ é infinito.
11 Função
convergente – é aquela que mesmo descontínua os valores de ‘y’ voltam a ser
reais com o mesmo sinal. A divergente não volta a ter valores de ‘y’, e se
volta tem sinal contrário.
12 Função
unívoca é a que para cada valor de ‘x’ corresponde um único valor de ‘y’.
13 Função
algébrica é aquela que são as que podem ser expressas em de forma implícita.
Aqueles que não podem são as transcendentes (exponenciais, logarítmicas,
trigonométricas)
14 Função
par f(- x) = f(x), e ímpar f(- x) = - f(x).
15 Função
explícita é quando as variáveis ‘x’ e ‘y’ estão em termos separados na
expressão, enquanto na implícita elas aparecem no mesmo termo.
Ex y = f(x) y = 2x+1 ou f(x,y) = 0 2xy = 6
Ex y = f(x) y = 2x+1 ou f(x,y) = 0 2xy = 6
16 Função
inversa é aquela que representa a operação inversa da outra, e os valores de
‘x’ de uma são os de ‘y’ da outra. ex: y = x2 sua inversa é y =√x.
17 Valor
numérico da função é o valor de ‘y‘ calculado a partir do valor de ‘x’. Ex: f(x)= x2 f(3) = 9
18 Zeros
(raízes) da função é o valor de‘x’ para o qual y=0.
19 O
estudo de uma função compreende:
O
gráfico / As raízes / Os máximos, mínimos e pontos de inflexões / As assíntotas
/ O domínio / O limites / A derivada / A integral
b) Gráfico de uma Função
O gráfico de uma função
é a representação de todos, ou parte dos pontos da função no plano cartesiano,
polar ou vetorial.
Como desenhar o gráfico?
·
Determine valores para ‘x’, aplique à
equação da função e calcule ‘y’.
·
Para funções simples faça x= -1,
0 e 1.Para mais complexas insira outros valores.
·
Plote os pares (x,y)
Ex: Faça o gráfico da
função y = 2x2+3
1) Reta (Função Linear): y = ax+b (equação do 1ºgrau)
2) Funções Algébricas Polinomiais: y = xn
3) Funções transcendentes: Exponenciais y= ax , y= ex
OBS: 1) Se a = 1 ou a ≤ 0 não são exponenciais
2) Se a = e tem um tratamento especial como y = ex
Funções transcendentes: Logarítmicas y= loga x, y= ln x
(inversa da
exponencial)
1) Se a = 1
ou a ≤ 0 não são logarítmicas
2) Se
a = e tem um tratamento especial
como y = ln x
3) Se
a = 10 tem um tratamento especial
como y = log x
Logarítmo base
a = 10 decimal ou comum (log)
a = 10 decimal ou comum (log)
a = e
logaritmo neperiano ou natural
(ln) (e = 2,718)
a = 2
logaritmo binário
Mudança de coordenadas cartesianas e polares:
4) Funções Circulares ou
Trigonométricas:
Função
domínio
valor
Limite
lateral
x
=
y
=
x→
y
=
Seno
0-90ºcresce
(+)
0
0
Cosseno
0-90ºdecresce
(+)
0º
1
tangente
0-90ºcresce
(+)
0º
0
0
90º
-
+∞
Cotangente
0-90ºdecresce
(+)
0º
0
0
0+
+∞
Secante
0-90ºcresce
(+)
0º
1
-1
90º
-
+∞
cossecante
0-90ºdecresce
(+)
0º
1
-1
0+
+∞
5) Funções ciclométricas (inversas das
circulares)
6) Funções Hiperbólicas
Seno,
cosseno, tangente, cotangente, secante, cossecante (hiperbólico)
Fórmulas exponenciais das funções hiperbólicas:
7) Funções Quadráticas ou Cônicas são:
Parábola, Hipérbole, Elipse e Círculo
Função
|
domínio
|
valor
|
Limite
lateral
|
||
x
=
|
y
=
|
x→
|
y
=
|
||
Seno
|
0-90ºcresce
(+)
90-180º
decresce(+)
180-270º
decresce(-)
270-360º
cresce(-)
|
0
90º
180º
270º
|
0
1
0
-1
|
||
Cosseno
|
0-90ºdecresce
(+)
90-180º
decresce(-)
180-270º
cresce(-)
270-360º
cresce(+)
|
0º
90º
180º
270º
|
1
0
-1
0
|
||
tangente
|
0-90ºcresce
(+)
90-180º
cresce(-)
180-270º
cresce(+)
270-360º
cresce(-)
|
0º
90º
180º
270º
|
0
0
|
90º
-
90º+
270º
-
270º
+
|
+∞
-
∞
+∞
-
∞
|
Cotangente
|
0-90ºdecresce
(+)
90-180º
decresce(-)
180-270º
decresce(+)
270-360º
decresce(-)
|
0º
90º
180º
270º
|
0
0
|
0+
180º
-
180º+
0
-
|
+∞
-
∞
+∞
-
∞
|
Secante
|
0-90ºcresce
(+)
90-180º
cresce(-)
180-270º
decresce(-)
270-360º
decresce(-)
|
0º
90º
180º
270º
|
1
-1
|
90º
-
90º
+
270º
-
270º
+
|
+∞
-
∞
-∞
+∞
|
cossecante
|
0-90ºdecresce
(+)
90-180º
cresce(+)
180-270º
cresce(-)
270-360º
decresce(-)
|
0º
90º
180º
270º
|
1
-1
|
0+
0-
180º+
180º
-
|
+∞
-∞
-
∞
+
∞
|
6) Funções Hiperbólicas
Fórmulas exponenciais das funções hiperbólicas:
7) Funções Quadráticas ou Cônicas são:
Parábola, Hipérbole, Elipse e Círculo
8) Curvas Clássicas (em coordenadas polares)
Limaçon
ou Caracol de Pascal
ou Caracol de Pascal
É uma circunferência que passa
pelo polo
Equação polar: r = a ± b.cosθ ou r =
a ± b.senθ.
A
equação com cosθ é simétrica em relação ao eixo polar
cosθ,
e a equação com senθ, é simétrica em relação ao eixo normal.
A
Limaçon pode apresentar-se com laço (a<b), sem laço (a=b neste caso é
chamada Cardióide) e convexa (a>b).
Cardióide
É
um caso particular de Limaçon (quando a = b) ou um Epiciclóide com uma ponta.
Seu aspecto é de um coração, e por isso tem este nome.
Rosácea
Equação polar: r = a cos (nθ) ou r = a sen(nθ).
Se ‘n’ for par a rosácea terá 2n
pétalas; se for ímpar ela terá n pétalas.
Lemniscata de Bernoulli
Equação polar: r2
= a2 cos2θ ou r2
= a2 sen2θ,
para a ≠ 0.
Se a > 0, cos2θ ou sen2θ devem ser > 0. Se a < 0, devem
ser < 0.
Equação
geral: 2a2 = (x2+
y2)/(x2–y2)
Equação
paramétrica: x = a cost
e y =
a sent
Quando for co-seno, sua aparência é de um 8 deitado, e passou a significar ‘infinito’. O seno aparenta um 8 normal.
Espiral de Arquimedes
Equação polar: r = b+a.θ,
sendo θ<0 para o sentido horário.
Espiral logarítmica: r = (e)aθ
Ciclóide
É a curva definida por um ponto de uma
circunferência que rola sobre uma reta.
Equação polar: r2 = a cos2θ
ou r2 = a sen2θ
Equação paramétrica x = r(θ– senθ)
e y = r (θ – cosθ)
Tipos: curta, normal e longa.
Quando o ponto de referência está no
interior do círculo,gera a curta, e quando esta fora dele, numa extensão do
raio, gera a longa.
Hipociclóide
É a curva definida por um ponto de uma
circunferência que rola no interior de um círculo. A mais conhecidas é a
Astróide, ou hipociclóide de 4 cúspides.
Equação
polar: x = (a-b)cosθ+b cos((a-b)θ/b)
e
y = (a-b)senθ+b sen((a-b)θ/b)
Equação polar da Astóide: x
= a sen3θ e y = a cos3θ
Epicicloide
É a curva definida por um ponto de uma
circunferência que rola por fora de um círculo. Pode ser normal e encurtada, e pode
haver epiciclóides evoluta e involuta. Se a = b ela
passa a ser uma cardióide.
Equação
polar: x = (a+b)cosθ – b cos((a+b)θ/b)
e
y = (a+b)senθ – b sen((a+b)θ/b)
c) Apresentação:
1) As equações das funções podem ser apresentadas nas formas:
geral ex: reta Ax + By + C=0 ou y = ax + b
normal ex: reta x cosw + y senw – p= 0
paramétrica ex: reta x = xo+ t cos a
c) Apresentação:
1) As equações das funções podem ser apresentadas nas formas:
geral ex: reta Ax + By + C=0 ou y = ax + b
normal ex: reta x cosw + y senw – p= 0
paramétrica ex: reta x = xo+ t cos a
simétrica ex: reta (x-xo)/ cos a = (y-yo)/ cos b
2) Coordenadas
polares:
Mudança de coordenadas cartesianas e polares:
Equações
transformadoras:
x =
r cos
y =
r sen
tg
= y/x
r2 = x2 + y2
Exemplos:
1-
Transformar r2= 4sen2
para coordenadas cartesianas.
sen 2
= 2sen
cos
,
então na figura sen 2
= 2(y/r)(x/r).
r2 = x2 + y2 Subst em r2= 4sen2
, temos: (x2+y2)
= 4.2(y/r)(x/r)
(x2+y2) = 8xy
/ r2 = 8xy/ (x2+y2) e (x2+y2)2
= 8xy
finalmente r2= 4sen2
equivale a (x2+y2)2
= 8xy
2-
Transformar x2+y2=
4x em coordenadas polares.
Subst x e y por x= r cos
, y= r sen
temos (r cos
)2+(r sen
)2
= 4(r cos
),
onde
r2cos2
+r2sen2
4r
cos
= 0
simplifica ‘r’ e organiza
r (cos2
+sen2
)
4cos
= 0
r.1
4
cos
=
0, e
finalmente x2+y2= 4x equivale a
r
= 4 cos
3-
Ache a equação polar das equações dadas:
a) x=2 polar
r cos
=2
b) y= -5 polar
r sen
= -5
c) y= 2+x polar
r sen
= 2+r cos
... r (sen
cos
)
=2
d) x2+y2= 4 polar
r = 2
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